私募股权公司的申请备案流程包括以下几个步骤：

准备备案材料：需要准备相关的备案申请材料，包括基金合同、基金募集说明书、运作规则、投资者适当性管理制度等。

提交备案申请：将准备好的备案申请材料提交给当地证监会，并按照规定的要求填写备案申请表格。

监管机构审查：证监会对私募股权基金备案申请材料进行审查，包括对基金的合规性、投资者保护等方面进行评估。

备案登记：经过审查合格后，证监会将对私募股权基金进行备案登记，并颁发备案通知书。

以上信息仅供参考，具体流程和所需材料可能因各地要求而有所不同，建议咨询当地证监局工作人员获取更准确的信息。